Integral indefinida de una constante

Integral indefinida de una constante

El objetivo de este blog es difundir herramientas de matemáticas que puedan ser usados por personas de todo el mundo.

Indefinida Integral

Un integrante de la forma

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es decir, sin límites superior e inferior, también llamado una primitiva. El primer teorema fundamental del cálculo permite integrales definidas para ser computado en términos de integrales indefinidas. En particular, este teorema afirma que si es la integral indefinida para una función compleja , A continuación,

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Este resultado, si bien enseñado temprano en cursos de cálculo elementales, es en realidad una muy profunda resultado de conectar el puramente algebraica integral indefinida y la puramente analítica (o geométrica) integral definida . Integración indefinida se implementa en Mathematica como Integrar [f, z].
Puesto que el derivado de una constante es cero, cualquier constante se puede añadir a una primitiva y todavía corresponder al mismo integral. Otra forma de decir esto es que la primitiva es una inversa no único del derivado. Por esta razón, integrales indefinidas se escriben a menudo en la forma

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donde es una constante arbitraria conocida como la constante de integración . Mathematica devuelve integrales indefinidas sin constantes explícitas de integración. Esto significa que, dependiendo de la forma utilizada para el integrando, primitivas y se puede obtener que difieren por una constante (o, más en general, una función constante por trozos ). También significa que Integrar [f + g, z] pueden diferir de Integración [f, z] + Integrar [g, z] por una arbitraria (por tramos) constante.
Tenga en cuenta que integrales indefinidas definidos algebraicamente tratan con cantidades complejas. Sin embargo, muchos libros de texto de cálculo elementales escriben fórmulas como

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(Donde la notación se utiliza para indicar que se supone que es un número real) en lugar del complejo versión variable de

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donde es genéricamente un número complejo (pero también lleva a cabo de verdad ). Definición de una especie de "solo real" integral indefinida es quizás hace para que los estudiantes pueden solicitar el primer teorema fundamental del cálculo usando una integral de Riemann y obtener las respuestas correctas, evitando completamente el uso de análisis complejo, las funciones de varios valores, etc. (Aunque Cabe señalar que el primer teorema fundamental del cálculo sólo se aplica si el integrando es continua en el intervalo de integración, por lo que la estipulación adicional debe ser hecho que sólo puede aplicarse si el intervalo no contiene 0.)
Sin embargo, este trabajo (y Mathematica ) evitan la definición "real-solo", dado que la inclusión del valor absoluto significa que la integral indefinida ya no son válidos para una variable compleja genérico es (La presencia de la significa que las ecuaciones de Cauchy-Riemann ya no pueden sostener), y también viola la definición puramente algebraica de integrales indefinidas. Desde problema físico implica integrales definidas, es mucho más sensato que seguir con las definiciones usuales complejos / algebraicas de integración indefinida. En otras palabras, mientras que la integral de Riemann

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da la respuesta correcta (y evita cantidades complejas en el camino), también lo hace el complejo integral

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mientras que la última forma preserva los beneficios de carácter genérico y, al mismo tiempo prepara a los estudiantes para la herramienta extremadamente poderosa de análisis complejos que deben conocer y probablemente estarán aprendiendo sobre poco en cualquier caso.

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